Inversion am Kreis (Kreisspiegelung)
Was ist eine Inversion am Kreis überhaupt?
Durch diese Abbildung wird das Kreisinnere auf's Kreisäußere abgebildet und umgekehrt.
Das folgende Applet zeigt, wie das Bild des Punktes P entsteht:
P wird mit dem Mittelpunkt des Inversionskreises verbunden, über dieser Strecke wird ein Thaleskreis gezeichnet. Vom Schnittpunkt des Thaleskreises mit dem Inversionskreis wird das Lot auf PM gefällt, der Lotfußpunkt ist das Bild P' des Punktes P.
Lässt man nun P (mit gedrückter Maustaste) auf der Geraden wandern, dann erhalten wir schon ein erstes Ergebnis:
Nun soll natürlich der Punkt P' im Kreisinneren auch wieder auf den Punkt P auf der Geraden abgebildet werden.
Wie müssen wir vorgehen? Wenn wir P' mit dem Kreismittelpunkt verbinden und über der Verbindungsstrecke den Thaleskreis zeichnen, dann schneidet dieser natürlich nicht den Inversionskreis, wir haben keine Möglichkeit ein Lot zu fällen und den Lotfußpunkt zu bestimmen.
Wir müssen den Thaleskreis eben "rückwärts" konstruieren: Zunächst mal zeichnen wir eine Halbgerade von O nach P' und dazu eine Senkrechte, die durch P' geht. Diese schneiden wir mit dem Inversionskreis (und haben schon die Ecke C des Thaleskreises gefunden). Verbinden wir nun die Schnittpunkte mit dem Kreismittelpunkt und zeichnen in den Schnittpunkten die Tangenten an den Kreis, dann ist P deren Schnittpunkt:
Bewegen wir nun P' in Kreisinneren, dann bewegt sich P im Kreisäußeren mehr oder weniger wild umher, so wirklich informativ ist dieses Applet also nicht, abgesehen davon, dass es die Konstrukton von P' für innere Kreispunkte P zeigt..
Nageln wir P' mal auf einem Kreisradius fest und stellen uns die Frage "Wie verhält sich P, wenn P' zum Kreismittelpunkt respektive zur Kreislinie wandert?".
Und wieder haben wir zwei neue Erkenntnisse gewonnen:
Überprüfen wir nun, ob ein Kreis innerhalb des Inversionskreis auch wieder auf eine Gerade im Kreisäußeren abgebildet wird.
Nein, unsere Punktmenge wird auf einen Kreis abgebildet.
Machen wir einen weiteren Versuch und wählen als abzubildende Punktmenge einen Ursprungskreis:
Diesmal ist die abgebildete Punktmenge ein zum Inversionskreis konzentrischer Kreis, wieder ist sie keine Gerade.
Sehen wir uns dazu gleich die umgekehrte Abbildung an: Die abzubildende Punktmenge soll ein zum Inversionskreis konzentrischer Kreis im Kreisäußeren sein:
Das Ergebnis ist wie erwartet.
Aber immer noch suchen wir diejenige Punktmenge im Innern des Inversionskreises, die auf eine Gerade abgebildet wird. Ein nächster Versuch muss her. Wir wählen diesmal einen Kreis, der durch den Mittelpunkt des Inversionskreises geht:
... und haben Erfolg: Diese Punktmenge wird tatsächlich auf eine Gerade abgebildet.
Noch ein letzter Versuch: Die abzubildende Punktmenge soll komplett im Innern des Inversionskreises liegen. Im folgenden Applet ist der Mittelpunkt M mit gedrückter Maustaste verschiebbar.
Wir erhalten nun Geraden. Es ist nun gut erkennbar, wie wir M positionieren müssen, um eine Tangente, um eine Gerade parallel zur y-Achse, um eine Gerade, die nicht parallel zur y-Achse ist, zu erhalten.
Sammeln wir zum Abschluss dieser Seite unsere Erkenntnisse:
Ein Inversion am Kreis hat die folgenden Eigenschaften:
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