Herons Methode zur Bestimmung von Quadratwurzeln

Heron ging bei der Bestimmung einer Quadratwurzel von der folgenden Überlegung aus:

Ein Quadrat mit dem Flächeninhalt 16 cm² hat eine Seitenlänge von 4 cm, was der Quadratwurzel des Flächeninhaltes entspricht. Will man nun beispielsweise die Wurzel von 5 bestimmen, so braucht man ein Quadrat mit dem Flächeninhalt von 5 cm², die Seitenlänge liefert dann das gewünschte Ergebnis. Leider kann man diese Seitenlänge graphisch nur sehr ungenau bestimmen.

Um ein genaues Ergebnis zu bestimmen, beginnt man mit einem Rechteck von 5 cm² Flächeninhalt.
Die eine Seite wählt man z. B. x₀ = 5 cm , die zweite Seite hat dann die Länge b = 1 cm.
x₀ = 5 wird als erste Näherung für betrachtet, geradezu haarsträubend schlecht, aber immerhin ein Anfang.

Für den nächsten Näherungswert x₁ wählt man den Mittelwert der beiden Rechteckseiten. Der Mittelwert von 5 und 1 ist 3, also x₁ = 3 cm, die Seite b muss dann cm lang sein und das Ganze sieht schon etwas "quadratischer" aus.

Im Folgenden sind mehrere Schritte dieses Verfahrens durchgeführt, die Näherung x_iwird jeweils mit dem Taschenrechnerwert von verglichen:
Man erkennt, dass x _i schnell ein sehr genaues Ergebnis liefert.

Rekursionsformel für das Heron'sche Verfahren

Gesucht ist , man stelle sich also ein Rechteck mit dem Flächeninhalt a vor, das in ein Quadrat mit demselben Flächeninhalt a und der Seitenlänge umgewandelt werden soll.

Die erste Näherung (Seite des ersten Rechtecks) sei x₀, die zugehörige Seite b erhält man dann durch Division des Flächeninhaltes a durch x₀. Es gilt also:



Die letzte Tabellenzeile liefert also die Rekursionsformel für Herons Verfahren zum Berechnen von Quadratwurzeln. Häufig wird sie in der folgenden Form dargestellt: